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<!DOCTYPE html>

<title>Mermin-Wagner-Theorem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Mermin-Wagner-Theorem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Mermin-Wagner-Theorem oder Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem ist ein <a href="Theorem" title="Theorem">Theorem</a> der <a href="Theoretische_Physik" class="mw-redirect" title="Theoretische Physik">theoretischen</a>, speziell der <a href="Statistische_Physik" title="Statistische Physik">statistischen Physik</a>, das sehr allgemein besagt, dass es in ein- und zweidimensionalen Systemen bei Temperaturen oberhalb des <a href="Absoluter_Nullpunkt" title="Absoluter Nullpunkt">absoluten Nullpunkts</a> für Systeme mit <a href="Kontinuierliche_Symmetrie" class="mw-redirect" title="Kontinuierliche Symmetrie">kontinuierlicher Symmetrie</a> und genügend kurzreichweitigen Wechselwirkungen<a href="#cite_note-1">[Fußnote 1]</a> keine <a href="Spontane_Symmetriebrechung" title="Spontane Symmetriebrechung">spontane Symmetriebrechung</a> geben kann.

Es ist benannt nach <a href="N._David_Mermin" title="N. David Mermin">N. David Mermin</a> und <a href="Herbert_Wagner_(Physiker)" title="Herbert Wagner (Physiker)">Herbert Wagner</a>, die das Theorem basierend auf der <a href="Bogoliubov-Ungleichung" title="Bogoliubov-Ungleichung">Bogoliubov-Ungleichung</a> im Kontext des <a href="Goldstonetheorem" title="Goldstonetheorem">Goldstonetheorems</a><a href="#cite_note-2">[1]</a> für <a href="Ferromagnetismus" title="Ferromagnetismus">Ferromagnetismus</a>, <a href="Antiferromagnetismus" title="Antiferromagnetismus">Antiferromagnetismus</a><a href="#cite_note-3">[2]</a> und für niedrigdimensionale Kristalle<a href="#cite_note-4">[3]</a> ableiteten. <a href="Pierre_Hohenberg" title="Pierre Hohenberg">Pierre Hohenberg</a> hat nahezu zeitgleich<a href="#cite_note-5">[Fußnote 2]</a> die gleichen Überlegungen zu Quantensystemen angestellt und gezeigt, dass es keine <a href="Suprafluidit%C3%A4t" title="Suprafluidität">Suprafluidität</a> und <a href="Supraleitung" class="mw-redirect" title="Supraleitung">Supraleitung</a> in ein und zwei Dimensionen geben sollte.<a href="#cite_note-6">[4]</a>

Für die <a href="Quantenfeldtheorie" title="Quantenfeldtheorie">Quantenfeldtheorie</a> wurde ein entsprechender Satz – die Nicht-Existenz von Goldstonebosonen in zwei Dimensionen – von <a href="Sidney_Coleman" title="Sidney Coleman">Sidney Coleman</a> bewiesen.<a href="#cite_note-7">[5]</a> Das Fehlen eines Symmetriebruches wird oft synonym dazu verwendet, dass es keine Ordnung im System geben darf, z. B. keinen <a href="Ferromagnetismus" title="Ferromagnetismus">Ferromagnetismus</a>, <a href="Antiferromagnetismus" title="Antiferromagnetismus">Antiferromagnetismus</a> oder keine Kristalle. Exakt muss es lauten, dass es keine (perfekt) langreichweitige Ordnung geben kann, während eine quasi-langreichweitige Ordnung nicht ausgeschlossen ist.

Anwendungsgebiet sind u. a. das <a href="XY-Modell" title="XY-Modell">XY-Modell</a> (<a href="N-Vektor-Modell" title="N-Vektor-Modell">n-Vektor-Modell</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a02c8bd752d2cc859747ca1f3a508281bdbc3b34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=2}" loading="lazy">-dimensionaler <a href="Spin" title="Spin">Spin</a>variable) und das <a href="Heisenberg-Modell" title="Heisenberg-Modell">Heisenberg-Modell</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5a5a42ced00df920fad4ab2d4acdb960a4105b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=3}" loading="lazy">-dimensionale Spinvariable), das Mermin und Wagner ursprünglich in zwei Dimensionen betrachteten. Auch wenn das Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem einen klassischen <a href="Phasen%C3%BCbergang" title="Phasenübergang">Phasenübergang</a> beim XY-Modell in zwei Dimensionen verhindert, können allgemein Phasenübergänge anderer Art auftreten wie bspw. der <a href="Kosterlitz-Thouless-%C3%9Cbergang" title="Kosterlitz-Thouless-Übergang">Kosterlitz-Thouless-Übergang</a>. Dagegen liegt im <a href="Isingmodell" class="mw-redirect" title="Isingmodell">Isingmodell</a> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy">-dimensionale Spinvariable) keine kontinuierliche Symmetrie vor (die Spinvariable nimmt die zwei diskreten Werte ±1 an), so dass der Satz nicht anwendbar ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vorgeschichte">Vorgeschichte</h2></div>

<a href="Felix_Bloch" title="Felix Bloch">Felix Bloch</a> hatte schon 1930 bei der Diagonalisierung der <a href="Slater-Determinante" title="Slater-Determinante">Slater-Determinante</a> für Fermionen darauf hingewiesen, dass es Magnetismus in zweidimensionalen Systemen nicht geben sollte.<a href="#cite_note-8">[6]</a>

Einige anschauliche Argumente, die unten aufgeführt sind, hat <a href="Rudolf_Peierls" title="Rudolf Peierls">Rudolf Peierls</a> geliefert,<a href="#cite_note-9">[7]</a> auch <a href="Lew_Dawidowitsch_Landau" title="Lew Dawidowitsch Landau">Lew Landau</a> hat zum Symmetriebruch in zweidimensionalen Systemen gearbeitet.<a href="#cite_note-10">[8]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Energetisches_Argument">Energetisches Argument</h2></div>

Ein Grund für fehlende langreichweitige Ordnung ist, dass mit sehr wenig Energieaufwand langreichweitige Fluktuationen (in den Feldtheorien oft masselose <a href="Goldstone-Boson" class="mw-redirect" title="Goldstone-Boson">Goldstone-Moden</a> genannt) angeregt werden, welche die perfekte Periodizität zerstören. Betrachtet man als ein magnetisches Model (wie etwa das XY-Model in einer Dimension) eine Kette der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> von magnetischen Momenten in harmonischer Näherung, d. h. die Rückstellkräfte bei Auslenkung eines Momentes sind proportional zum Auslenkungswinkel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/907e4a28946d45e5cbf3cf3c6c48de68296039c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.004ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{i}}" loading="lazy">, dann folgt, dass die Energien quadratisch in den Auslenkungswinkeln sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfdf6b42fab98953718d196bc890177df3454294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.947ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E_{i}\propto \gamma _{i}^{2}}" loading="lazy">. Die Gesamtenergie der Kette ist somit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto \sum _{i}\gamma _{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28b6352c2cc1eab095daed3480c22ca2a0664199.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:13.322ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto \sum _{i}\gamma _{i}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Betrachtet man die niedrigste angeregte Mode in einer Dimension (siehe Abbildung 1), dann verdrehen sich die Momente auf der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> entlang der Kette gerade um <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy">. Sind insgesamt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> magnetische Momente auf der Kette, dann ist der relative Winkel zwischen allen Momenten gleich und lautet <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma _{i}=\pi /N}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma _{i}=\pi /N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3f0c17e5461df2ca6f50bd926e500c8bdf44f6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.66ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \gamma _{i}=\pi /N}" loading="lazy">. Die Gesamtenergie für die niedrigste Mode ist

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N\cdot \gamma _{i}^{2}=N{\frac {\pi ^{2}}{N^{2}}}\propto L{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461b7b424dfd5bbb0d1c188ee22a4c1eb3271d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:30.653ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N\cdot \gamma _{i}^{2}=N{\frac {\pi ^{2}}{N^{2}}}\propto L{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im <a href="Thermodynamischer_Grenzfall" title="Thermodynamischer Grenzfall">thermodynamischen Limes</a>, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4991d94b2f9ae141ce3d9827672ee2f7760cfca0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.521ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L\to \infty }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\to \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\to \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e23159ea0d291e21c5709a6dd7486bed7f18febe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.001ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N\to \infty }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L/N={\text{const.}}}">

</mrow>

<mtext>const.</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L/N={\text{const.}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6eab961c341c1a2cfa9069c01c8806c488af16ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.863ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L/N={\text{const.}}}" loading="lazy"> verschwindet die Energie dieser Mode mit der Systemgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \propto 1/L}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \propto 1/L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0afb65b557b6985c6b566d4a00e70880114e7e0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.361ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \propto 1/L}" loading="lazy">. Für beliebig große Systeme kosten die langwelligen Moden keine Energie und werden folglich thermisch angeregt sein. Derart ist die langreichweitige Ordnung auf der Kette zerstört. In zwei Dimensionen bzw. auf einer Fläche ist die Anzahl der mag. Momente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\propto L^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\propto L^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ce992e04f2362bf6350fea60bb322ede83973e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.799ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle N\propto L^{2}}" loading="lazy">, die Energie für die langwelligste Mode ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N^{2}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{2}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34dfcd6a4992dbc51dafeaac2b2ab51432a34915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.645ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N^{2}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{2}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im thermodynamischen Limes ist die Energie dafür konstant und die Moden werden bei hinreichend hoher Temperatur angeregt sein. In drei Dimensionen, bzw. im Volumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=L^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=L^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d55fea53a6dfdd0cc594af3766b5f2243a87b2a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.523ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V=L^{3}}" loading="lazy"> ist die Energie

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N^{3}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{3}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59cd056c415c6b8e64366e0df704c7f5e4fbac9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:23.645ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{ges}}\propto N^{3}\cdot \gamma _{i}^{2}\propto L^{3}{\frac {\pi ^{2}}{L^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für beliebig große Systeme divergiert die Energie für die langwelligste Mode und wird folglich unterdrückt sein. Die langreichweitige Ordnung wird in dreidimensionalen Systemen nicht gestört.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Entropisches_Argument">Entropisches Argument</h2></div>

Ein entropisches Argument gegen perfekte langreichweitige Ordnung in Kristallen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D<3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D<3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/26ccd31283a8d784174013e5ad7f3266665fd8a5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.185ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D<3}" loading="lazy"> geht wie folgt (siehe Abbildung 2): Betrachtet man eine Kette von Atomen/Teilchen mit dem mittleren Teilchenabstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle a\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle a\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359d6d5ef54d2945c3ab643d185baa544944e1d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle a\rangle }" loading="lazy">, dann werden thermische Fluktuationen z. B. zwischen Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> und Teichen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 1}" loading="lazy"> dafür sorgen, dass der Abstand um eine Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{0,1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{0,1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7287c05b1f34dc15cc42dde2e77e2bdfec28ebc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.352ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi _{0,1}}" loading="lazy"> fluktuiert: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c729cdea77cc467dbd34be18a28195fcf9689e59.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.56ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle a=\langle a\rangle \pm \xi _{0,1}}" loading="lazy">. Genau so groß wird die Amplitude der Abstandsfluktuationen zwischen Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> sein: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65d7275a52af53a898da76afd9260fa10fd79240.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.668ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |\xi _{-1,0}|=|\xi _{0,1}|}" loading="lazy">. Sind die beiden Abstandsfluktuationen statistisch unabhängig, wie es für thermische Fluktuationen der Fall ist, dann addieren sich die Abstandsfluktuationen zwischen den zwei Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -1}" loading="lazy"> und Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle +1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle +1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:2.971ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle +1}" loading="lazy"> (d. h. beim doppelten mittleren Abstand) auch statistisch unabhängig: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f954b9e1c3036801985a2e3fa5c5d1cdfc1b59e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:15.859ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \xi _{-1,1}={\sqrt {2}}\cdot \xi _{0,1}}" loading="lazy">. Für zwei Teilchen im N-fachen mittleren Abstand folgt bei statistisch unabhängiger Addition der Fluktuationen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d34ebf81e5b9d3692c5869e7febd4f5c32ac2cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.118ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \xi _{0,N}={\sqrt {N}}\cdot \xi _{0,1}}" loading="lazy">. Obwohl der mittlere Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle a\rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle a\rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359d6d5ef54d2945c3ab643d185baa544944e1d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle a\rangle }" loading="lazy"> gut definiert ist, wachsen die Abweichungen von einer perfekt periodischen Kette mit der Wurzel der Systemgröße.

In drei Dimensionen muss man, um das gesamte Volumen abzustreichen, in mindestens drei verschiedene Raumrichtungen laufen; in einem kubischen Kristall wäre das in der Summe entlang der Raumdiagonalen eines Würfels, von Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> zu Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy">. Wie in der Abbildung 2 nachzuzählen ist, gibt es dafür insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten. Die Fluktuationen der Länge der sechs Pfade können jetzt nicht statistisch unabhängig sein, da sie zwischen denselben Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 3}" loading="lazy"> herrschen. Sie können sich nur kohärent addieren und bleiben auf der Raumdiagonalen des Würfels von der Größenordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.03ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi }" loading="lazy">. In zwei Dimensionen haben Herbert Wagner und David Mermin gezeigt, dass die Abstandsfluktuationen logarithmisch mit der Systemgröße <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> anwachsen: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi \propto \ln(L)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi \propto \ln(L)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aab2afe7f3a36236c2f26cff64a05b916263c7c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.46ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \xi \propto \ln(L)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel_in_einer_kolloidalen_Monolage">Beispiel in einer kolloidalen Monolage</h2></div>

Das Foto zeigt einen (quasi-)zweidimensionalen Kristall aus <a href="Kolloid" title="Kolloid">Kolloiden</a> (kleine Partikel in wässriger Lösung, die an eine <a href="Grenzfl%C3%A4che" title="Grenzfläche">Grenzfläche</a> sedimentiert sind und nur in der Ebene <a href="Brownsche_Bewegung" title="Brownsche Bewegung">Brownsche Diffusion</a> machen können). Die hexagonale kristalline Ordnung ist auf mittleren Skalen gut zu sehen, weil die Abweichungen vom perfekten Kristall nur logarithmisch, also recht langsam anwachsen. Gut sind aber auch die Fluktuationen zu sehen, als Abweichung der Positionen von den hier rot eingezeichneten Gitterlinien. Diese Fluktuationen sind im Wesentlichen die Gitterschwingungen des Kristalls (akustische <a href="Phonon" title="Phonon">Phononen</a>). Ein direkter experimenteller Nachweis der Mermin-Wagner-Hohenberg-Fluktuationen wäre, wenn die Abweichungen (grüne Pfeile in der Vergrößerung) logarithmisch mit dem Abstand von einem lokal angepassten Koordinatensystem (blau) anwachsen. Diese sogenannte logarithmische Divergenz geht einher mit einem algebraischen (langsamen) Zerfall von (Orts-)Korrelationsfunktionen. Die Ordnung wird dann quasi-langreichweitig genannt (siehe auch <a href="Hexatische_Phase" title="Hexatische Phase">Hexatische Phase</a>).

Interessanterweise sind deutlichen Anzeichen von Mermin-Wagner-Fluktuationen in amorphen, ungeordneten Systemen gefunden worden<a href="#cite_note-11">[9]</a><a href="#cite_note-12">[10]</a><a href="#cite_note-13">[11]</a>

In diesen Arbeiten wurde nicht die Abweichung von Gitterpositionen, sondern die Größe des <a href="Mittlere_quadratische_Verschiebung" title="Mittlere quadratische Verschiebung">mittleren Verschiebungsquadrates</a> der Teilchen als Funktion der Zeit untersucht. Die Fragestellung wurde gleichsam aus dem <a href="Ortsraum" title="Ortsraum">Ortsraum</a> in die Zeitdomäne verlagert. Den theoretischen Hintergrund hat D. Cassi sowie F. Merkl und H. Wagner geliefert.<a href="#cite_note-14">[12]</a><a href="#cite_note-15">[13]</a> In diesen Arbeiten ist ein Zusammenhang zwischen der Rückkehrwahrscheinlichkeit bei Zufallswegen und der spontanen Symmetriebrechung in verschiedenen Dimensionen aufgezeigt worden. Die nichtverschwindende Rückkehrwahrscheinlichkeit eines <a href="Zufallspfad" title="Zufallspfad">Zufallspfades</a> in ein und zwei Dimensionen ist <a href="Dualit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Dualität (Mathematik)">dual</a> zum Fehlen der langreichweitigen Ordnung in ein und zwei Dimensionen, während die verschwindende Rückkehrwahrscheinlichkeit dual zur Existenz von langreichweitiger Ordnung in dreidimensionalen Systemen ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Limitierung">Limitierung</h2></div>

Bei realen <a href="Magnet" title="Magnet">Magneten</a> liegt häufig keine kontinuierliche Symmetrie vor, da schon bei vorhandener <a href="LS-Kopplung" class="mw-redirect" title="LS-Kopplung">LS-Kopplung</a> das System anisotrop wird. Bei atomaren Systemen wie <a href="Graphen" title="Graphen">Graphen</a> lässt sich zeigen, dass Monolagen kosmologischer Größe nötig sind, um hinreichend große Amplituden der langwelligen Fluktuationen messen zu können.<a href="#cite_note-16">[14]</a>

Eine weitere Diskussionen des Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorems und seiner Limitierungen hat <a href="Bertrand_Halperin" title="Bertrand Halperin">Bertrand Halperin</a> zusammengefasst.<a href="#cite_note-17">[15]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anmerkung">Anmerkung</h2></div>

Der Widerspruch zwischen dem Mermin-Wagner-Theorem (das langreichweitige Ordnung in Kristallen verbietet) und den ersten Computersimulationen (<a href="Bernie_Alder" title="Bernie Alder">Alder</a> und <a href="Thomas_E._Wainwright" title="Thomas E. Wainwright">Wainwright</a>), die Kristallisation in zweidimensionalen Systemen andeuteten, hatte <a href="J._Michael_Kosterlitz" title="J. Michael Kosterlitz">J. Michael Kosterlitz</a> und <a href="David_Thouless" class="mw-redirect" title="David Thouless">David Thouless</a> motiviert, ihre Arbeiten zu topologischen Phasenübergänge in zweidimensionalen Systemen zu entwickeln (<a href="KTHNY-Theorie" title="KTHNY-Theorie">KTHNY-Theorie</a>), für die sie 2016 den Nobelpreis für Physik verliehen bekamen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fußnoten">Fußnoten</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> In der Originalarbeit von Mermin und Wagner Wechselwirkungen endlicher Reichweite entsprechend realistischen kurzreichweitigen Wechselwirkungen. Bedingung ist, dass die Wechselwirkung zwischen den magnetischen Momenten oder den Teilchen integrierbar ist, d. h. schneller als 1/r abfallen. Für das 1/r Potential in zweidimensionalen Systemen sind die übernächsten und überübernächsten Nachbarkorrelationen hinreichend stark, dass z. B. das entropische Argument nicht funktioniert.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Der Artikel wurde nur zwei Tage später als die Arbeit über Magnetismus eingereicht, ist aber erst ein halbes Jahr später erschienen

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> H. Wagner: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Long-Wavelength Excitations and the Goldstone Theorem in Many-Particle Systems with "Broken Symmetries"</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Zeitschrift für Physik</cite>. 195. Jahrgang, 26. April 1966, S. 273–299, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/bf01325630">10.1007/bf01325630</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Long-Wavelength+Excitations+and+the+Goldstone+Theorem+in+Many-Particle+Systems+with+%22Broken+Symmetries%22&rft.au=H.%26%2332%3BWagner&rft.btitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Physik&rft.date=1966-04-26&rft.doi=10.1007%2Fbf01325630&rft.genre=book&rft.pages=273-299&rft.volume=195.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> N. D. Mermin, H. Wagner: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Physical Review Letters</cite>. 17. Jahrgang, Nr. 22, 28. November 1966, S. 1133, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.17.1133">10.1103/PhysRevLett.17.1133</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Absence+of+Ferromagnetism+or+Antiferromagnetism+in+One-+or+Two-Dimensional+Isotropic+Heisenberg+Models&rft.au=N.+D.%26%2332%3BMermin%2C%26%2332%3BH.+Wagner&rft.date=1966-11-28&rft.doi=10.1103%2FPhysRevLett.17.1133&rft.genre=journal&rft.issue=22&rft.jtitle=Physical+Review+Letters&rft.pages=1133&rft.volume=17.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> N. D. Mermin: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Crystalline Order in Two Dimensions</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Physical Review</cite>. 176. Jahrgang, 6. Juni 1968, S. 250–254, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.176.250">10.1103/PhysRev.176.250</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Crystalline+Order+in+Two+Dimensions&rft.au=N.+D.%26%2332%3BMermin&rft.btitle=Physical+Review&rft.date=1968-06-06&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.176.250&rft.genre=book&rft.pages=250-254&rft.volume=176.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> P.C. Hohenberg: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Physical Review</cite>. 158. Jahrgang, 24. Oktober 1966, S. 383–386, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1103/PhysRev.158.383">10.1103/PhysRev.158.383</a> (englisch).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Existence+of+Long-Range+Order+in+One+and+Two+Dimensions&rft.au=P.C.%26%2332%3BHohenberg&rft.btitle=Physical+Review&rft.date=1966-10-24&rft.doi=10.1103%2FPhysRev.158.383&rft.genre=book&rft.pages=383-386&rft.volume=158.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Coleman, There are no Goldstone bosons in two dimensions, Commun. Math. Phys., Band 31, 1973, S. 259

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> F Bloch: <cite style="font-style:italic">Zur Theorie des Ferromagnetismus</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Zeitschrift für Physik</cite>. 61. Jahrgang, 1. Februar 1930, S. 206–219, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/bf01339661">10.1007/bf01339661</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Zur+Theorie+des+Ferromagnetismus&rft.au=F%26%2332%3BBloch&rft.btitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Physik&rft.date=1930-02-01&rft.doi=10.1007%2Fbf01339661&rft.genre=book&rft.pages=206-219&rft.volume=61.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> R.E. Peierls: <cite style="font-style:italic">Bemerkungen über Umwandlungstemperaturen</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Helv. Phys. Acta</cite>. 7. Jahrgang, S. 81, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5169/seals-110415">10.5169/seals-110415</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Mermin-Wagner-Theorem&rft.atitle=Bemerkungen+%C3%BCber+Umwandlungstemperaturen&rft.au=R.E.%26%2332%3BPeierls&rft.btitle=Helv.+Phys.+Acta&rft.doi=10.5169%2Fseals-110415&rft.genre=book&rft.pages=81&rft.volume=7.+Jahrgang" style="display:none">

</li>

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